Mundo Matematico: março 2019

terça-feira, 26 de março de 2019

Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2º grau

Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:

∆ > 0, duas raízes reais e distintas.
∆ = 0, uma única raiz real e distinta.
∆ < 0, nenhuma raiz real.

Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja:

Soma das raízes – (x₁ + x₂)
Produto das raízes – (x₁ * x₂)
As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:

Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.

Soma

Produto

Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.

Observe:

A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:

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Soma

Produto

Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2 S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14

Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/soma-produto-das-raizes-uma-equacao-2-grau.htm

quarta-feira, 6 de março de 2019

Exercício equação do primeiro grau

1. A solução da equação 5(x + 3) – 2(x – 1) = 20 é

A) 0
B) 1
C) 3
D) 9

Resolução: Vamos resolver a equação passo a passo, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. Vejamos!

5(x + 3) – 2(x – 1) = 20

5x + 15 – 2x + 2 = 20

5x – 2x = 20 – 15 – 2

3x = 3

x = 1. Portanto, a solução da equação é 1.

2. Na equação (k – 4)x2 + 5x – 3 = 8 + k, qual deve ser o valor de k para que tenhamos uma equação do 1º grau com solução no conjunto dos números reais?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Resolução:Para chegarmos a solução do problema, devemos antes lembrar da “forma” de uma equação do 1º grau. Uma equação do 1º grau apresenta a seguinte forma reduzida:

ax + b = 0, onde a é diferente de 0 (zero) e b assume qualquer valor real.

Repare que não temos nenhum termo do 2º grau, isto é, nenhum “x ao quadrado”. Logo, para que a equação dada no problema seja do 1º grau, não pode ter nenhum termo (incógnita) elevado ao quadrado, ou seja, não apresentar nenhum termo do 2º grau.

(k – 4)x2 + 5x – 3 = 8 + k

Para que isso acontença, basta o coeficiente do termo x2 ser igual a 0 (zero), sendo que anulará tal termo. Devemos fazer (ter) então

k – 4 = 0, logo k = 4.

Portanto, para que a equação seja do 1° grau, k = 4. Veja o que acontence:

(4 – 4)x2 + 5x – 3 = 8 + 4, então 0x2 + 5x – 3 = 8 + 4 e daí 5x – 3 = 8 + 4.

3. Qual é o número inteiro que é solução da equação

$\frac{{2x + 2}}{3} + \frac{{3x - 5}}{2} = 9{\rm{ ?}}$

A) 1
B) 3
C) 4
D) 5

Resolução:Para encontrar a solução da equação vamos coloca-lá na forma reduzida, para isso, reduziremos as frações ao mesmo denominador através do mínimo múltiplo comum.

$\frac{{2x + 2}}{3} + \frac{{3x - 5}}{2} = 9$

O mmc(1,2,3) = 6.

$\frac{{2x + 2}}{3} + \frac{{3x - 5}}{2} = \frac{9}{1} \Leftrightarrow$ $\frac{{4x + 4}}{6} + \frac{{9x - 15}}{6} = \frac{{54}}{6} \Leftrightarrow$

Como os denominadores são iguais e temos uma igualdade entre os membros, logo os numeradores devem também ser iguais.

$4x + 4 + 9x - 15 = 54 \Leftrightarrow$ $4x + 9x = 54 + 15 - 4 \Leftrightarrow$ $13x = 65 \Leftrightarrow x = 5.$

Portanto, o número inteiro que é solução da equação é 5.

4. Qual dos valores de x abaixo verifica a equação

$1 - \frac{{x - 1}}{2} = x - \frac{{x + 2}}{3}{\rm{ ?}}$

A) x = –7
B) x = –1/7
C) x = 13/7
D) x = –9

Resolução: Para resolver está equação, vamos seguir o mesmo procedimento da anterior, mas com atenção redobrada, pois temos uma operação de subtração nos dois membros.

$1 - \frac{{x - 1}}{2} = x - \frac{{x + 2}}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{1} - \frac{{x - 1}}{2} = \frac{x}{1} - \frac{{x + 2}}{3} \Leftrightarrow$

Bem, o mmc(1,2,3) = 6.

$\frac{6}{6} - \frac{{3x - 3}}{6} = \frac{{6x}}{6} - \frac{{2x + 4}}{6} \Leftrightarrow$

Agora, faremos a multiplicação dos sinais de “menos” pelos “sinais” dos membros (numeradores) das frações e não mais precisaremos nos preocupar com os 6’s nos denominadores,pois são iguais (antes e depois da igualdade).

6 – (3x – 3) = 6x – (2x + 4) <=>

6 – 3x + 3 = 6x – 2x – 4 Û – 3x – 6x + 2x = – 4 – 6 – 3 Û -7x = –13 Û x = 13/7.

5. Se a equação 2ax – 3 = x + 3 é equivalente à equação

$\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{x - 2}} = \frac{5}{{{x^2} - 3x + 2}},$

então:

A) a = –2
B) a = 2
C) a = –1
D) a = –4/5

Este problema fala em equações equivalentes. Para quem não sabe, duas equações são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução, isto é, o mesmo valor para a incógnita.

Sabendo disso, veja que a equação pede o valor de a e não de x, mas será necessário determinar o valor de x antes, pois ambas devem possuir o mesmo valor, mas isso só será possível num primeiro momento, na segunda equação.

Mas antes de resolvermos a segunda equação, veja que temos um trinômio do 2º grau e o mesmo pode ser fatorado. Para isso, utilize a ideia da soma e produto das raízes de uma equação do 2º grau, isto é,

x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Vamos agora encontrar o valor de x na segunda equação.

$\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{x - 2}} = \frac{5}{{{x^2} - 3x + 2}} \Leftrightarrow \frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{x - 2}} = \frac{5}{{(x - 1)(x - 2)}} \Leftrightarrow$

Determinado o mmc [(x – 1),(x – 2)] = (x – 1)(x + 2).

$\frac{{x - 2 - 3(x - 1)}}{{(x - 1)(x - 2)}} = \frac{5}{{(x - 1)(x - 2)}} \Leftrightarrow$

Como temos que os denominadores são iguais, então

x – 2 – 3x + 3 = 5 Û – 2x = 4 Û x = – 2.

De posse do valor de x, vejamos a primeira equação isolando a.

2ax – 3 = x + 3 Û 2ax = x + 3 + 3 Û 2ax = x + 6 e daí

$a = \frac{{x + 6}}{{2x}} \cdot$

Como x = – 2, substituindo …

$a = \frac{{ - 2 + 6}}{{2( - 2)}} \Leftrightarrow a = - 1.$

Portanto, como as equações são equivalentes o valor de
a= –1.

sábado, 2 de março de 2019

Regra de três Composta exercicios

1. Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?

2. Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?

3. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas?

4. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?

5. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?

6. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?

7. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?

8. (Unifor–CE) Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos?

9. Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

10. Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?

11. Uma padaria produz 100 pães a cada quatro horas. Sabendo que ela fica aberta durante 16 horas, quantos pães ela produz durante um dia?

12. Um carro percorre 120 km em duas horas se dirigir com velocidade constante de 60 km/h. Se esse mesmo carro percorrer esse trecho com velocidade constante de 40 km/h, quantas horas ele leva para completar o percurso?

13. Uma confecção leva 4 dias para produzir 160 peças de roupas com 8 funcionários. Se apenas 6 funcionários estiverem trabalhando, quantos dias leva para essa confecção produzir 300 peças?

14. Uma moto percorre 240 km utilizando 20 litros de gasolina. Quantos litros ela precisa para percorrer 360 km?

15. Uma lanchonete produz 480 sanduíches em 6 dias quando 4 funcionários estão trabalhando. Quantos funcionários são necessários para que essa lanchonete faça 600 sanduíches em 4 dias?

16. Cinco galinhas botam 10 ovos por dia. Quantos ovos botam 12 galinhas?

Regra de três Simples - Exercicios

Regra de três simples

1. Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana.

2. Um muro de 12 metros foi construído utilizando 2 160 tijolos. Caso queira construir um muro de 30 metros nas mesmas condições do anterior, quantos tijolos serão necessários?

3. Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um mês seria de R$ 2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês, qual seria o valor dos juros?

4. Uma equipe de 5 professores gastou 12 dias para corrigir as provas de um vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas?

5. Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos obter?

6. Três caminhões transportam 200m³ de areia. Para transportar 1600m³ de areia, quantos caminhões iguais a esse seriam necessários?

7. A comida que restou para 3 náufragos seria suficiente para alimentá-los por 12 dias. Um deles resolveu saltar e tentar chegar em terra nadando. Com um náufrago a menos, qual será a duração dos alimentos?

8. Para atender todas as ligações feitas a uma empresa são utilizadas 3 telefonistas, atendendo cada uma delas, em média, a 125 ligações diárias. Aumentando-se para 5 o número de telefonistas, quantas ligações atenderá diariamente cada uma delas em média?

9. Um pintor, trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias, pinta 7.500 telhas. Quantas horas por dia deve trabalhar esse pintor para que ele possa pintar 6.000 telhas em 4 dias?

10. Em uma disputa de tiro, uma catapulta, operando durante 6 baterias de 15 minutos cada, lança 300 pedras. Quantas pedras lançará em 10 baterias de 12 minutos cada?

11. Dez guindastes móveis carregam 200 caixas num navio em 18 dias de 8 horas de trabalho. Quantas caixas serão carregadas em 15 dias, por 6 guindastes, trabalhando 6 horas por dia?

12. Com a velocidade de 75 Km/h, um ônibus faz um trajeto em 40 min. Devido a um congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 min. Qual a velocidade média desse ônibus?

13. Sabendo que os números a, 12 e 15 são diretamente proporcionais aos números 28, be 20, determine os números a e b.

14. Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada na vertical em relação ao chão e projetou uma sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

15. Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco?